如果你在地球的某一端,而我想要见到你,需要多久呢?

大一物理系的学生在学习力学时可能会遇到这样一个习题:假设一个完全均匀的球体,沿着任意一根弦挖一条隧道。在只考虑引力的光滑隧道情况下,小球以静止状态从一头落下,到达另一头需要花多少时间?

想要做出这个习题,只需要利用万有引力的平方反比公式和一些微积分知识就可以了。具体的积分算法涉及到大量推导运算,而听说每列一个公式就会少一半读者,因此这里就不详细列出了。不过在一些基本的代换和积分之后,你会惊讶地发现,小球在隧道内和单摆一样,会作出简谐振动。单程所需要的时间等于(3/4*π/(G*ρ))^(1/2),其中G是万有引力常数,ρ是球体的密度。这个时间和隧道长度无关,和隧道通不通过地心是不是直径也没有关系。换言之,你大可以把地球的平均数据代进去。得到的结果是:在这样一个理想的均匀地球隧道模型中,当你想从地球上的任何一点移动到另一点时,都只需要2530秒,约合42.17分钟。

当然,这样的一种交通方式在现实中要考虑地球自转、空气阻力、摩擦力、接近地心时人体是否能承受得住高温和高速以及这种隧道怎么挖谁去挖的问题。不过,这并不妨碍人们对此作出遐想。19世纪法国科学家就认真考虑过这种基于重力的交通方式,刘易斯·卡罗尔(对,就是写《爱丽丝漫游仙境》的那位)在《色尔维和布鲁诺》(Sylvie and Bruno)里面也提到过这个概念。对中国读者来说,刘慈欣的《地球大炮》可能是更熟悉的一个例子。

顺带一提,对均质地球而言,当隧道并非直径时,最快的移动方案并不是走直线弦而是圆内摆线,这样移动时间会小于42分钟。此外,考虑到地球内部不同壳层的密度分布有明显的阶梯变化,并非均质,这样算下来,通过直径隧道只需要38分钟。

相思形色露
四十二分钟之旅
投身巨渊中

cite:How Long Would It Take to Fall Through the Earth?

PS:本篇的灵感来源需要感谢网友“悠哉悠哉”

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